Jumat, 09 Januari 2009

Persamaan kuadat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

y = ax^2 + bx + c \,\!

dengan

a \ne 0 \,\!

Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x2, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Arti nilai a, b, dan c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

  • a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
  • b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
  • c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

y = 0 \,\!.

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

y = ax^2 + bx + c \,\!

dapat dituliskan menjadi

y = a (x - x_1) (x - x_2) \,\!.

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \,\!

dan

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \,\!.

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

b^2 - 4ac,\,\!

yang disebut sebagai diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dituliskan sebagai D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

  • Jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:
x = -\frac{b}{2a}.\,\!
  • Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:
x_+ = \frac{-b}{2a} + i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right ) dan x_- = \frac{-b}{2a} - i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )

Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak negatif.

Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

[sunting] Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat (y_1 = ax^2 + bx + c\!) dengan suatu garis mendatar (y_2 = d\!). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.

y_1 - y_2 = ax^2 + bx + c - d = 0 \!

Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:

  • diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara y_1\! dan y_2\!,
  • diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara y_1\! dan y_2\!, dan
  • diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, y_1\! dan y_2\!.

Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan pula oleh nilai konstanta kuadrat a:

Harga-harga y

a > 0\! a < 0\!
x < x_1\! x_1 < x < x_2\! x > x_2\! x < x_1\! x_1 < x < x_2\! x > x_2\!
D > 0\! y > 0\! y < 0\! y > 0\! y < 0\! y > 0\! y < 0\!
D = 0\! y > 0\! -\! y > 0\! y < 0\! -\! y < 0\!
D < 0\! y > 0\! -\! y > 0\! y < 0\! -\! y < 0\!

dengan x_1 < x_2 \! merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Dalam tabel di atas, apabila x, x_1, x_2\!bersifat kompleks, maka yang dimaksud adalah \Re\ x (nilai riil)-nya.

Geometry

Untuk fungsi kuadrat:
f(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x adalah bilangan riil. koordinat-x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, adalah akar-akar dari persamaan kuadrat : x2 − x − 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat

ax^2+bx+c=0,\,

adalah juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:

f(x) = ax^2+bx+c,\,

dikarenakan akar-akar tersebut merupakan nilai x\,\! yang memberikan

f(x) = 0.\,

Jika a, b, dan c adalah bilangan riil, dan domain dari f\,\! adalah himpunan bilangan riil, maka pembuat nol dari f\,\! adalah eksak koordinat-x di saat titik-titik tersebut menyentuh sumbu-x.

Mengikuti pernyataan di atas, bahwa jika diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), jika berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan jika berharga negatif, kurva tidak akan menyentuh sumbu-x.

Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)